高数
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5.多元微分
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知识点方法简明总结
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多元微分知识点_withMarginNotes 2
多元微分
考试
大
纲
考试内容
多元函数的概念
二
元函数的
几
何意义
二
元函数的极限与连续的概念
有界闭区域上多元连续函数的性质
多元函数的偏导数和全微分
全微分存在的必要条件和充分条件
多元复合函数、隐函数的求导法
二
阶偏导数
方
向导数和梯度
空间曲线的切线和法平
面
曲
面
的切平
面
和法线
二
元函数的
二
阶泰勒公式
多元函数的极值和条件极值
多元函数的最
大
值、最
小
值及其简单应
用
考试要求
1．理解多元函数的概念，理解
二
元函数的
几
何意义．
2．了解
二
元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．
3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，
了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性
4．理解
方
向导数与梯度的概念，并掌握其计算
方
法
5．掌握多元复合函数
一
阶、
二
阶偏导数的求法
6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数
7．了解空间曲线的切线和法平
面
及曲
面
的切平
面
和法线的概念，会求它们的
方
程
8．了解
二
元函数的
二
阶泰勒公式
9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，
了解
二
元函数极值存在的充分条件，会求
二
元函数的极值，
会
用
拉格朗
日
乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最
大
值和最
小
值，
并会解决
一
些简单的应
用
问题
多元函数的概念
重极限
求重极限：
一
元函数极限的推
广
证明重极限不存在：
取不同路径
（直线或抛物线）
极坐标
适
用
于分
母
平
方
和，分
子
乘积
分
母
不是平
方
和，换元转换为平
方
和
分
母
出现奇数次，重极限不存在
已知重极限求全微分
分
母
极限为0推分
子
极限为0
脱极限号，凑可微定义
多元函数连续
2
连续：重极限=函数值
全微分
充分：
偏导数连续
多元函数可微
必要：
多元函数可微
多元函数连续
多元函数可微
偏导数存在
关系图
偏导数
4
对x求偏导先代
入
y，对y同理
只有最后
一
次求导可以先带后求
一
阶偏导数复合结构不变
二
阶混合偏导数连续必相等
多元复合函数求偏导
多元复合函数求导公式前提：f(u,v)可微
对x求偏导：根部有x的都
走
一
遍，对y同理
多元隐函数求偏导
隐函数存在定理（求导公式）
F对
的偏导数不为0，
就可以确定为其余变量的隐函数
（分
母
不为0）
行
阶梯形
一
个
方
程三个未知数可以确定
一
个
二
元函数
两个
方
程三个未知数可以确定两个
一
元函数
两个
方
程四个未知数可以确定两个
二
元函数
无
条件极值
必要：
偏导数存在的极值点偏导数为0
充分：
一
阶偏导等于0，
二
阶偏导AC-B
方
判别法
若AC-B
方
=0可能是
若是，保号性
若不是，取不同路径
条件极值
拉格朗
日
乘数法
1.
目
标函数等价转化
根号下u等价为u
e的u次
方
等价于u
lnu等价于u
u的绝对值等价于u
方
2.乘
非
0因
子
消
λ
，讨论因
子
是否为0
3.边界曲线不封闭讨论端点
4.解
λ
适
用
于：
线性
方
程组（x、y
一
次
方
）
且有
非
0解（曲线不经过原点）
二
转
一
：
适
用
于y容易解出来
解约束条件，得y=y(x)，代
入
目
标函数，转化
为
一
元函数极值
极坐标换元：
适
用
于边界曲线为（椭）圆
约束条件转化为极坐标
方
程，代
入
目
标函数，
把xy的转化为
θ
的
均值不等式
左边乘积，右边线性组合
Cauchy不等式（离散形式）
左边线性组合，右边平
方
和
乘积和的平
方
≤平
方
和的乘积
闭区域最值
一
阶偏导等于0得内部驻点，求函数值
最值在区域内
一
定是极值
则若AC-B
方
<0，D内
无
极值，D内
无
最值
条件极值
比
较，最
大
的为最
大
值，最
小
的为最
小
值
＋
－
⤢